题目内容
【题目】设和
是双曲线
上的两点,线段
的中点为
,直线
不经过坐标原点
.
(1)若直线和直线
的斜率都存在且分别为
和
,求证:
;
(2)若双曲线的焦点分别为、
,点
的坐标为
,直线
的斜率为
,求由四点
、
、
、
所围成四边形
的面积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)法一:设不经过点的直线
方程为
,与双曲线方程联立,利用中点坐标表示
,再求
;法二:利用点差法表示
;
(2)先由已知求得双曲线方程和直线的方程,由条件表示四边形的面积
;令解,利用
的中点是
,直接求点
的坐标,再表示四边形的面积
.
(1)证明:法1:设不经过点的直线
方程为
,代入双曲线
方程得:
.
设坐标为
,
坐标为
,中点坐标为
,则
,
,
,
,所以,
,
.
法2:设、
,中点
,则
,
且
,
(1)﹣(2)得:.
因为,直线和直线
的斜率都存在,所以
,
等式两边同除以,得:
,即
.
(2)由已知得,求得双曲线方程为
,直线
斜率为
,
直线方程为
,代入双曲线方程可解得
,中点
坐标为
.
面积.
另解:线段中点
在直线
上.所以由中点
,可得点
的坐标为
,代入双曲线方程可得
,即
,解得
(
),所以
.面积
.
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