Question

5．（文科） 设点（x，y）位于线性约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-2y+1≤0}\\{y≤2x}\end{array}}\right.$所表示的区域内（含边界），则目标函数z=2x+y的最大值是$\frac{14}{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{x-2y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{3}}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{3}$，$\frac{4}{3}$），
代入目标函数z=2x+y得z=2×$\frac{5}{3}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{14}{3}$．
即目标函数z=2x+y的最大值为$\frac{14}{3}$，
故答案为：$\frac{14}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．