Question

5．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac．
（1）求角B的大小；
（2）若A=75°，b=2，求边a的长．

Answer 1

分析 （1）由已知式子和余弦定理可得cosB，可得角B；
（2）由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$，代值计算可得．

解答 解：（1）∵a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴B=45°；
（2）∵A=75°，B=45°，b=2，
由正弦定理可得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{2×sin75°}{sin45°}$
=2$\sqrt{2}$sin75°=2$\sqrt{2}$sin（45°+30°）
=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$）
=$\sqrt{3}$+1．

点评 本题考查正余弦定理的应用，涉及两角和与差的三角函数公式，属基础题．