题目内容

已知数列{a_n}满足： $数学公式$ ．
（1）求a₂，a₃；
（2）设b_n=a_2n-2，n∈N^*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3）已知 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ．

解：（1）由数列{a_n}的递推关系易知： $\text{[math]}$ ．（2分）
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．（6分）
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
即数列{b_n}是公比为 $\text{[math]}$ ，首项为 $\text{[math]}$ 的等比数列， $\text{[math]}$ ．（7分）
（3）由（2）有 $\text{[math]}$ ．（8分）
∵ $\text{[math]}$ ．（10分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）由数列{a_n}的递推关系直接可求；（2）利用 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，所以数列{b_n}是公比为 $\text{[math]}$ ，首项为 $\text{[math]}$ 的等比数列，进一步可求其通项公式；
（3）易得c_n=n，再利用裂项求和法求和，进而证得结论．
点评：本题考查了数列的递推公式的运用、利用定义法证明等比数列：要证数列{bn}为等比数列? $\text{[math]}$ ．

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