题目内容
(本小题满分14分)
已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=其中λ为实数,n为正整数。
(Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{an}不是等比数列;
(Ⅱ)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设0<a<b,Sn为数列{bn}的前n项和。是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有
a<Sn<b?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由。
(Ⅰ)证明见解析。
(Ⅱ)见解析。
(Ⅲ)
解析:
(Ⅰ)证明;假设存在一个实数,使
是等比数列,则有
,
即矛盾。
所以不是等比数列。
(Ⅱ)解:因为
又,所以
当时,
些时
不是等比数列;
当时,
由上可知
。
故当时,数列
是以
为首项,
为公比的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18,故知bn= -(λ+18)·(-)n-1,于是可得
Sn=-
要使a<Sn<b对任意正整数n成立,
即a<-(λ+18)·[1-(-
)n]〈b(n∈N+)
①
当n为正奇数时,1<f(n)
∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)=
,
于是,由①式得a<-
(λ+18),<
当a<b3a时,由-b-18
=-3a-18,不存在实数满足题目要求;
当时,存在实数
,使得对任意正整数
,都有
,且
的取值范围是
。
第(Ⅰ)问问的是证明 “不是等比数列”,这样的问题显然用“反证法”;第(Ⅱ)正着问,那就顺着推;第(Ⅲ)问要先求和再解建立不等式。
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