题目内容

(本小题满分14分)设上的两点,已知向量,若且椭圆的离心率短轴长为2,为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线过椭圆的焦点(0,c),(c为半焦距),求直线的斜率的值;
(Ⅲ)试问:的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

解:(Ⅰ) 
椭圆的方程为                 ………………………………3分
(Ⅱ)由题意,设的方程为

由已知得:
   ……7分
(Ⅲ) (1)当直线AB斜率不存在时,即,由
                   ………………………………8分
在椭圆上,所以

所以三角形的面积为定值.                  ……………………………………9分
(2)当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b

                            ……………………………………10分

                         ………………………………………12分    


所以三角形的面积为定值.                 ………………………………………14分

解析

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