Question

10．已知数列{a_n}的前n项和S_n=-n²+2n+1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若等差数列{a_n}的前n项和S_n=An²+Bn+C（A，B，C为常数），则常数A，B，C必满足何条件？

Answer 1

分析 （1）利用“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出．
（2）根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求出数列的通项公式，结合等差数列的定义进行判断即可．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-n²+2n-1-[-（n-1）²+2（n-1）-1]=-2n+3，
当n=1时，a₁=S₁=-1+2+1=2，不适合上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{n=1}\\{-2n+3，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
（2）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（An²+Bn+C）-[A（n-1）²+B（n-1）+C]
=（Aa²+Bn）-（An²-2An+A+Bn-B）=2An-A+B．
当n=1时，a₁=S₁=A+B+C，
则当C=0时，a₁满足a_n=2An-A+B，此时数列{a_n}为等差数列．公差d-2A，
当C≠0时，a₁不满足a_n=2An-A+B，此时数列{a_n}不为等差数列．

点评 本题考查数列{a_n}的通项公式与前n项和为S_n的关系式，熟练掌握“当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”是解题的关键，注意验证n=1时是否适合．