Question

5．设F₁、F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于点E，E恰好是直线EF₁与⊙F₂的切点．
（1）求该椭圆的离心率；
（2）若点E到椭圆的右准线的距离为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，过椭圆的上顶点A的直线与⊙F₂交于B、C两点，且$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题设条件知EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，由椭圆定义知EF₁+EF₂=2a．由勾股定理推导出4c²=（2a-b）²+b²．由此能求出椭圆的离心率，
（2）由（1）的结论，可知b、a的值，可得右焦点的坐标，进而可得圆的方程，结合题意$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{AC}$可得λ$\overrightarrow{AC}$²=5，分类讨论λ的范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，F₁、F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于点E，
则EF₂=b，且EF₁⊥EF₂，
则（2a-b）²+b²=4（a²-b²），即2a=3b，
e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{9}$，
故椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$；
（2）由椭圆的定义可得：b=$\frac{\sqrt{5}}{3}$×$\frac{6\sqrt{5}}{5}$=2，a=$\frac{3}{2}$b=3，
c=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
则点F₂的坐标为（$\sqrt{5}$，0），
圆的方程为（x-$\sqrt{5}$）²+y²=4，
点A在圆外，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5，故λ$\overrightarrow{AC}$²=5，
若λ＜1，则$\sqrt{5}$＜|$\overrightarrow{AC}$|≤5，此时$\frac{1}{5}$≤λ＜1，
若λ＞1，则1＜|$\overrightarrow{AC}$|≤$\sqrt{5}$，此时1≤λ＜$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的性质，涉及向量数量积的运算，关键还是要熟练掌握椭圆的相关性质．