题目内容
【题目】(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点任作一直线与相交于两点,过点作轴的平行线与直线相交于点(为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线(不含轴)与直线相交于点,与(1)中的定直线相交于点,证明:为定值,并求此定值.
【答案】(1)详见解析,(2)8.
【解析】
试题分析:(1)证明动点在定直线上,实质是求动点的轨迹方程,本题解题思路为根据条件求出动点的坐标,进而探求动点轨迹:依题意可设AB方程为,代入,得,即.设,则有:,直线AO的方程为;BD的方程为;解得交点D的坐标为,注意到及,则有,因此D点在定直线上.(2)本题以算代征,从切线方程出发,分别表示出的坐标,再化简.设切线的方程为,代入得,即,由得,化简整理得,故切线的方程可写为,分别令得的坐标为,则,即为定值8.
试题解析:(1)解:依题意可设AB方程为,代入,得,即.设,则有:,直线AO的方程为;BD的方程为;解得交点D的坐标为,注意到及,则有,因此D点在定直线上.(2)依题设,切线的斜率存在且不等于零,设切线的方程为,代入得,即,由得,化简整理得,故切线的方程可写为,分别令得的坐标为,则,即为定值8.
【题目】在测试中,客观题难题的计算公式为,其中为第题的难度,为答对该题的人数,为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示:
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
测试后,从中随机抽取了10名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错):
学生 编号 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(1)根据题中数据,将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表,并估计这120名学生中第5题的实测答对人数;
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测答对人数 | |||||
实测难度 |
(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人,求恰好有1人答对第5题的概率;
(3)定义统计量,其中为第题的实测难度,为第题的预估难度().规定:若,则称该次测试的难度估合理,否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.
【题目】已知某市2015年全年空气质量等级如表1所示.
表1
空气质量等级(空气质量指数(AQI)) | 频数 | 频率 |
优() | 83 | 22.8% |
良() | 121 | 33.2% |
轻度污染() | 68 | 18.6% |
中度污染() | 49 | 13.4% |
重度污染() | 30 | 8.2% |
严重污染() | 14 | 3.8% |
合计 | 365 | 100% |
2016年5月和6月的空气质量指数如下:
5月 240 80 56 53 92 126 45 87 56 60
191 62 55 58 56 53 89 90 125 124
103 81 89 44 34 53 79 81 62 116
88
6月 63 92 110 122 102 116 81 163 158 76
33 102 65 53 38 55 52 76 99 127
选择合适的统计图描述数据,并回答下列问题:
(1)分析该市2016年6月的空气质量情况.
(2)比较该市2016年5月和6月的空气质量,哪个月的空气质量较好?
(3)比较该市2016年6月与该市2015年全年的空气质量,2016年6月的空气质量是否好于去年?
【题目】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间/分 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数y/人 | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程,再用剩下的组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数的差,若差值的绝对值都不超过,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)从这组数据中随机选取组数据后,求剩下的组数据的间隔时间不相邻的概率;
(2)若选取的是后面组数据,求关于的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;
(3)为了使等候的乘客不超过人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟.
附:对于一组数据,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.