题目内容

【题目】已知函数f(x)=x2﹣1.
(1)对于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对任意实数x1∈[1,2].存在实数x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:对于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,

即为4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,

由1≤x≤2,可得4m2

由g(x)= =4( + 2

当x=2,即 = 时,g(x)取得最小值,且为1,

即有4m2≤1,解得﹣ ≤m≤


(2)解:对任意实数x1∈[1,2].

存在实数x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,

可设f(x)在[1,2]的值域为A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域为B,

可得AB.

由f(x)在[1,2]递增,可得A=[0,3];

当a<0时,h(x)=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2,(1≤x≤2),

在[1,2]递增,可得B=[﹣a,6﹣2a],

可得﹣a≤0<3≤6﹣2a,不成立;

当a=0时,h(x)=2x2﹣2,(1≤x≤2),

在[1,2]递增,可得B=[0,6],

可得0≤0<3≤6,成立;

当0<a≤2时,由h(x)=0,解得x= >1(负的舍去),

h(x)在[1, ]递减,[ ,2]递增,

即有h(x)的值域为[0,h(2)],即为[0,6﹣2a],

由0≤0<3≤6﹣2a,解得0<a≤

当2<a≤3时,h(x)在[1, ]递减,[ ,2]递增,

即有h(x)的值域为[0,h(2)],即为[0,a],

由0≤0<3≤a,解得a=3;

当3<a≤4时,h(x)在[1,2]递减,可得B=[2a﹣6,a],

由2a﹣6≤0<3≤a,无解,不成立;

当4<a≤6时,h(x)在[1, ]递增,在[ ,2]递减,可得B=[2a﹣6,2+ ],

由2a﹣6≤0<3≤2a,不成立;

当6<a≤8时,h(x)在[1, ]递增,在[ ,2]递减,可得B=[a,2+ ],

由a≤0<3≤2a,不成立;

当a>8时,h(x)在[1,2]递增,可得B=[a,2a﹣6],

AB不成立.

综上可得,a的范围是0≤a≤ 或a=3.


【解析】(1)由题意可得4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,由1≤x≤2,可得4m2 ,运用二次函数的最值的求法,可得右边函数的最小值,解不等式可得m的范围;(2)f(x)在[1,2]的值域为A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域为B,由题意可得AB.分别求得函数f(x)和h(x)的值域,注意讨论对称轴和零点,与区间的关系,结合单调性即可得到值域B,解不等式可得a的范围.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减.

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