题目内容
【题目】已知函数f(x)=x2﹣1.
(1)对于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对任意实数x1∈[1,2].存在实数x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:对于任意的1≤x≤2,不等式4m2|f(x)|+4f(m)≤|f(x﹣1)|恒成立,
即为4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,
由1≤x≤2,可得4m2≤ ,
由g(x)= =4( + )2﹣ ,
当x=2,即 = 时,g(x)取得最小值,且为1,
即有4m2≤1,解得﹣ ≤m≤ ;
(2)解:对任意实数x1∈[1,2].
存在实数x2∈[1,2],使得f(x1)=|2f(x2)﹣ax2|成立,
可设f(x)在[1,2]的值域为A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域为B,
可得AB.
由f(x)在[1,2]递增,可得A=[0,3];
当a<0时,h(x)=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2,(1≤x≤2),
在[1,2]递增,可得B=[﹣a,6﹣2a],
可得﹣a≤0<3≤6﹣2a,不成立;
当a=0时,h(x)=2x2﹣2,(1≤x≤2),
在[1,2]递增,可得B=[0,6],
可得0≤0<3≤6,成立;
当0<a≤2时,由h(x)=0,解得x= >1(负的舍去),
h(x)在[1, ]递减,[ ,2]递增,
即有h(x)的值域为[0,h(2)],即为[0,6﹣2a],
由0≤0<3≤6﹣2a,解得0<a≤ ;
当2<a≤3时,h(x)在[1, ]递减,[ ,2]递增,
即有h(x)的值域为[0,h(2)],即为[0,a],
由0≤0<3≤a,解得a=3;
当3<a≤4时,h(x)在[1,2]递减,可得B=[2a﹣6,a],
由2a﹣6≤0<3≤a,无解,不成立;
当4<a≤6时,h(x)在[1, ]递增,在[ ,2]递减,可得B=[2a﹣6,2+ ],
由2a﹣6≤0<3≤2a,不成立;
当6<a≤8时,h(x)在[1, ]递增,在[ ,2]递减,可得B=[a,2+ ],
由a≤0<3≤2a,不成立;
当a>8时,h(x)在[1,2]递增,可得B=[a,2a﹣6],
AB不成立.
综上可得,a的范围是0≤a≤ 或a=3.
【解析】(1)由题意可得4m2(|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|,由1≤x≤2,可得4m2≤ ,运用二次函数的最值的求法,可得右边函数的最小值,解不等式可得m的范围;(2)f(x)在[1,2]的值域为A,h(x)=|2f(x)﹣ax|的值域为B,由题意可得AB.分别求得函数f(x)和h(x)的值域,注意讨论对称轴和零点,与区间的关系,结合单调性即可得到值域B,解不等式可得a的范围.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知当时,抛物线开口向上,函数在上递减,在上递增;当时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减.
【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如表资料:
日期 | 11月1日 | 11月2日 | 11月3日 | 11月4日 | 11月5日 |
温差x(℃) | 8 | 11 | 12 | 13 | 10 |
发芽数y(颗) | 16 | 25 | 26 | 30 | 23 |
设农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(注: , )
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率;
(2)若选取的是11月1日与11月5日的两组数据,请根据11月2日至11月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程 ;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?