题目内容

15.已知曲线f(x)=-x3-2x2+2ax+8在(1,f(1))处的切线与直线x-3y+1=0垂直.
(Ⅰ)求f(x)解析式;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间并画出y=f(x)的大致图象;
(Ⅲ)已知函数g(x)=f(x)+x2-2mx,若对任意x1,x2∈[1,2],总有(x1-x2)[g(x1)-g(x2)]>0,求实数m的取值范围.

分析 (Ⅰ)求出函数的导数,求得切线的斜率,由直线垂直的条件:斜率之积为-1,即可得到a=2,进而得到f(x)的解析式;
(Ⅱ)求出函数的导数,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间,进而得到极值和函数的图象;
(Ⅲ)由题意知g(x)在x∈[1,2]上为增函数,即g′(x)=-3x2-2x+(4-2m)≥0在x∈[1,2]恒成立.则2m≤-3x2-2x+4在x∈[1,2]恒成立.求得右边的最小值,即可得到m的范围.

解答 解:(Ⅰ)对f(x)求导f′(x)=-3x2-4x+2a,
由题意可得f′(1)=-3-4+2a=-3,
∴a=2,∴f(x)=-x3-2x2+4x+8.
(Ⅱ)f′(x)=-3x2-4x+4=-(3x-2)(x+2),
由f′(x)≥0得$-2≤x≤\frac{2}{3}$,由f′(x)≤0得$x≥\frac{2}{3}$或x≤-2,
∴单调增区间为$[{-2,\frac{2}{3}}]$,单减区间为(-∞,-2),$(\frac{2}{3},+∞)$,
f(x)极小值=f(-2)=0,f(x)极大值=$f(\frac{2}{3})=9\frac{13}{27}$.
大致图象如右图.
(Ⅲ)g(x)=-x3-x2+(4-2m)x+8,
由题意知g(x)在x∈[1,2]上为增函数,
即g′(x)=-3x2-2x+(4-2m)≥0在x∈[1,2]恒成立.
∴2m≤-3x2-2x+4在x∈[1,2]恒成立.
令h(x)=-3x2-2x+4,只需2m≤h(x)min
∵h(x)在x∈[1,2]上为减函数,
∴h(x)min=h(2)=-12,∴m≤-6,
所以实数m的取值范围为(-∞,-6].

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,主要考查导数的几何意义,函数的单调性的运用,考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网