Question

3．设p：实数x满足x²-2x+1-m²≤0：q：实数x满足x²+x-6＜0．
（1）若m=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=2，且p∧q为真．转化为求出集合的交集即可．
（2）p是q的必要不充分条件，即q⇒p且反之不成立，分类讨论即可求出m的范围．

解答 解：（1）p为真命题时，m=2时，x²-2x-3≤0，解得-1≤x≤3，
q真命题时，x²+x-6＜0，解得-3＜x＜2，
∵p∧q为真，
∴-1≤x＜3，
故x的取值范围为[-1，3）；
（2）x²-2x+1-m²=0，即（x-1）²=m²，
解得x=1±|m|
当m≥0时，p的解为1-m≤x≤1+m，
当m＜0时，p的解为1+m≤x≤1-m，
∵p是q的必要不充分条件，
∴q⇒p，p不能推出q，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≤-3}\\{1+m≥2}\\{m≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥2}\\{1+m≤3}\\{m＜0}\end{array}\right.$，
解得m≥2，或m≤-2，
故m的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．