题目内容
【题目】已知
，
.
（1）当
时，求
在
处的切线方程；
（2）当
时，若对任意的
，都存在
，使得
成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）将
代入，可得函数解析式，再代入
可得切点坐标；求得导函数，并由导数的几何意义求得切线斜率，进而得切线方程.
（2）将所给方程变形可得
；可得
在
内的单调性，进而求得值域，即可求得
的值域；构造函数
，求得
，由定义域及
分类讨论
的单调情况，并求得最值即可求得符合题意的
的取值范围.
（1）当时，
，
；所以切点坐标为
，
而
，
所以
；
∴切线方程为
.
化简可得.
（2）
，所以，
对于
，在
上单调递减，
上单调递增，
∴时，
，
或2时，
，
∴当
时，
.
令，
对任意的
，都存在
，成立，
所以的值域是
的子集，
，
①
时，
在上单调递增，
∴
，
，解得
.
②
时，在
上单调递减，
上单调递增，
∵
，恒成立，
下面证明
恒成立.
令
，
，解得
.
∴
在上单调递增，
恒成立，
∴.
③
时，在单调递减，
∴，
，
解得.
综上所述.
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