题目内容

【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆的极坐标方程为,其左焦点在直线上.

(1)若直线与椭圆交于两点,求的值;

(2)求椭圆的内接矩形面积的最大值.

【答案】(1);(2).

【解析】

(1)将参数方程化为直角坐标方程可得F的坐标为(,0),联立直线的参数方程与椭圆方程,结合参数的几何意义计算可得

(2)结合椭圆方程,设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(,4sinθ)(),据此可得内接矩形关于的面积函数,结合三角函数的性质即可确定面积S取得最大值.

(1)将代入ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,

x2+3y2=48,即

因为c2=48-16=32,所以F的坐标为(,0),

又因为F在直线l上,所以

把直线l的参数方程代入x2+3y2=48,

化简得t2-4t-8=0,所以t1t2=4,t1t2=-8,

所以

(2)由椭圆C的方程,可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(,4sinθ)(),

所以内接矩形的面积

时,面积S取得最大值

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