题目内容
【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,椭圆的极坐标方程为,其左焦点在直线上.
(1)若直线与椭圆交于两点,求的值;
(2)求椭圆的内接矩形面积的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)将参数方程化为直角坐标方程可得F的坐标为(,0),联立直线的参数方程与椭圆方程,结合参数的几何意义计算可得.
(2)结合椭圆方程,设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(,4sinθ)(),据此可得内接矩形关于的面积函数,结合三角函数的性质即可确定面积S取得最大值.
(1)将代入ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=48,
得x2+3y2=48,即,
因为c2=48-16=32,所以F的坐标为(,0),
又因为F在直线l上,所以.
把直线l的参数方程代入x2+3y2=48,
化简得t2-4t-8=0,所以t1+t2=4,t1t2=-8,
所以.
(2)由椭圆C的方程,可设椭圆C上在第一象限内的任意一点M的坐标为(,4sinθ)(),
所以内接矩形的面积,
当时,面积S取得最大值.
【题目】2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上,欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题:在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士,是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格?
图(一)给出了骑士的一种走法,它从图上标1的方格内出发,依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内,不重复地走遍棋盘上的每一格,又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内,按照上述走法,_____(填“能”或“不能”)走回到标50的方格内.
若骑士限制在图(二)中的3×4=12格内按规则移动,存在唯一一种给方格标数字的方式,使得骑士从左上角标1的方格内出发,依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内,分析图(二)中A处所标的数应为____.
35 | 38 | 27 | 16 | 29 | 42 | 55 | 18 |
26 | 15 | 36 | 39 | 54 | 17 | 30 | 43 |
37 | 34 | 13 | 28 | 41 | 32 | 19 | 56 |
14 | 25 | 40 | 33 | 20 | 53 | 44 | 31 |
63 | 12 | 21 | 52 | 1 | 8 | 57 | 46 |
24 | 51 | 64 | 9 | 60 | 45 | 2 | 5 |
11 | 62 | 49 | 22 | 7 | 4 | 47 | 58 |
50 | 23 | 10 | 61 | 48 | 59 | 6 | 3 |
图(一)
1 | |||
A | |||
3 | 12 |
图(二)