题目内容
【题目】在四棱锥
中，平面
平面
，底面为梯形，
，
且
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
； （Ⅲ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）利用平面和平面垂直得到线面垂直；
（Ⅱ）利用空间向量求解法向量，从而计算出二面角；
（Ⅲ）利用反证法或者向量求解.
（Ⅰ）在平面
中过点
作
，交
于
因为平面
平面
平面
平面
平面
所以
平面
因为
平面
所以
又
，且
所以
平面
（Ⅱ）因为平面，所以
又
，
以为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系
所以
，
因为平面，所以取平面的法向量为
设平面
的法向量为
因为
，所以
所以
令
，则
，所以
所以
由题知
为锐角，所以的余弦值为
（Ⅲ）
法一：
假设棱
上存在点
，使得
，显然与点
不同
所以
四点共面于
所以
，
所以
，
所以就是点
确定的平面，所以
这与
为四棱锥矛盾，所以假设错误，即问题得证
法二：
假设棱上存在点，使得
连接
，取其中点
在
中，因为
分别为
的中点，所以
因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，所以
与
重合
所以点在线段上，所以是，的交点，即就是
而与相交，矛盾，所以假设错误，问题得证
法三：假设棱上存在点，使得，
设
，所以
因为，所以
所以有
，这个方程组无解
所以假设错误，即问题得证
【题目】2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在
格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？
图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6，
，到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内.
若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A处所标的数应为____.
35 | 38 | 27 | 16 | 29 | 42 | 55 | 18 |
26 | 15 | 36 | 39 | 54 | 17 | 30 | 43 |
37 | 34 | 13 | 28 | 41 | 32 | 19 | 56 |
14 | 25 | 40 | 33 | 20 | 53 | 44 | 31 |
63 | 12 | 21 | 52 | 1 | 8 | 57 | 46 |
24 | 51 | 64 | 9 | 60 | 45 | 2 | 5 |
11 | 62 | 49 | 22 | 7 | 4 | 47 | 58 |
50 | 23 | 10 | 61 | 48 | 59 | 6 | 3 |
图（一）
1 | |||
A | |||
3 | 12 |
图（二）
