题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求
的极值和单调区间;
(2)若在区间上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)的极小值为
,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
(2).
【解析】
试题分析:(1)当,所以
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,极小值为
;(2)
,令
,得到
,下面只要求出
在区间
上的最小值,使最小值小于零即可.对
分成
,
,
三类,讨论函数的最小值,由此求得
的取值范围.
试题解析:
(1)当,
令得
,
又的定义域为
,由
得
,由
得
,
所以时,
有极小值为1.
的单调递增区间为
,单调递减区间为
....................5分
(2),且
,令
,得到
,若在区间
上存在一点
,使得
成立,即
在区间
上的最小值小于0.
当,即
时,
恒成立,即
在区间
上单调递减,
故在区间
上的最小值为
,
由,得
,即
.......................8分
当,即
时,
①若,则
对
成立,所以
在区间
上单调递减,
则在区间
上的最小值为
,
显然,在区间
上的最小值小于0不成立.
②若,即
时,则有
0 | |||
极小值 |
所以在区间
上的最小值为
,
由,得
,解得
,即
,
综上,由①②可知:符合题意.....................12分
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