题目内容
【题目】在直角坐标系中,已知抛物线
上一点
到焦点
的距离为6,点
为其准线
上的任意一点,过点
作抛物线
的两条切线,切点分别为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)当点在
轴上时,证明:
为等腰直角三角形.
(3)证明:为直角三角形.
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)根据抛物线的定义可知,到焦点的距离等于到准线的距离,得到求出参数
即可求出抛物线的解析式;
(2)由(1)可得,由题意知切线的斜率存在且不为0,设为
,所以切线方程为
,联立直线与抛物线方程,消去
得到关于
的一元二次方程,根据
求出
的值,即可求出
、
的坐标,即可得证;
(3)设点,由题意知切线的斜率存在且不为0,设为
,所以切线方程为
,联立直线与抛物线方程,消去
得到关于
的一元二次方程,根据
求出
的值,即可得证;
解:(1)根据题意可得,得
,
所以抛物线的方程为
.
(2)抛物线:
的准线方程为
,
所以点,由题意知切线的斜率存在且不为0,设为
,
所以切线方程为.
由方程组,得
,
所以,
解得,解得
.
不妨取,
,易得
为等腰直角三角形.
(3)设点,由题意知切线的斜率存在且不为0,设为
,
所以切线方程为,
由方程组,
得,
此时
,
所以,即
.
所以为直角三角形.
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