题目内容

【题目】已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4,且f(x)导函数f′(x)<3,则不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为(
A.(1,+∞)
B.(e,+∞)
C.(0,1)
D.(0,e)

【答案】D
【解析】解:设t=lnx, 则不等式f(lnx)>3lnx+1等价为f(t)>3t+1,
设g(x)=f(x)﹣3x﹣1,
则g′(x)=f′(x)﹣3,
∵f(x)的导函数f′(x)<3,
∴g′(x)=f′(x)﹣3<0,此时函数单调递减,
∵f(1)=4,
∴g(1)=f(1)﹣3﹣1=0,
则当x>1时,g(x)<g(1)=0,
即g(x)<0,则此时g(x)=f(x)﹣3x﹣1<0,
即不等式f(x)>3x+1的解为x<1,
即f(t)>3t+1的解为t<1,
由lnx<1,解得0<x<e,
即不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为(0,e),
故选:D.
构造函数g(x)=f(x)﹣2x﹣1,求函数的导数,判断函数的单调性 即可得到结论

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