Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a2S_n+a₁，其中a₂≠0。
（I）求证：{a_n}是首项为1的等比数列；
（II）若a₂＞-1，求证：并给出等号成立的充要条件。

Answer 1

证明：（I）∵S_n+1=a₂S_n+a₁，①
∴S_n+2=a₂S_n+1+a₁，②
①﹣②可得：a_n+2=a₂a_n+1
∵a₂≠0，
∴ 
∵S_n+1=a₂S_n+a₁，
∴S₂=a₂S₁+a₁，
∴a₂=a₂a₁
∵a₂≠0，
∴a₁=1
∴{a_n}是首项为1的等比数列。
（II）当n=1或2时，等号成立
设n≥3，a₂＞-1，且a₂≠0，
由（I）知a₁=1，，
所以要证的不等式可化为（n≥3）
即证（n≥2）
a₂=1时，等号成立当
-1＜a₂＜1时，与同为负；
当a₂＞1时，与同为正；
∴a₂＞-1且a₂≠1时，（）（）＞0，
即上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得?
综上，，等号成立的充要条件是n=1或2或a₂=1。