Question

14．已知函数f（x）的导函数为f′（x），如果f₀（x）=xsinx，并且f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*），则f₂₀₁₅（$\frac{π}{2}$）的值为2015．

Answer 1

分析 由题意对函数的变化规律进行探究，发现呈周期性的变化，且其周期是4，即可得到结论．

解答 解：由题意f₀（x）=xsinx，
f₁（x）=f₀′（x）=sinx+xcosx，
f₂（x）=f₁′（x）=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx
f₃（x）=f₂′（x）=-3sinx-xcosx，
f₄（x）=f₃′（x）=-4cosx+xsinx，
f₅（x）=f₄′（x）=5sinx+xcosx，
故f₂₀₁₅（x）=-2015sinx-xcosx，
∴f₂₀₁₅（$\frac{π}{2}$）=-2015sin$\frac{π}{2}$-0=-2015，
故答案为：-2015．

点评 本题考查函数的周期性，探究过程中用的是归纳推理，对其前几项进行研究得出规律，求解本题的关键一是要归纳推理的意识，一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握．