题目内容
已知矩形ABCD,AB=1,BC=x,将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则( )
A.?x∈(0,2),都存在某个位置,使得AB⊥CD |
B.?x∈(0,2),都不存在某个位置,使得AB⊥CD |
C.?x>1,都存在某个位置,使得AB⊥CD |
D.?x>1,都不存在某个位置,使得AB⊥CD |
建立如图所示的空间直角坐标系,B(0,0,0),C(0,x,0),D(1,x,0).
假设将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折时存在某个位置A1BD,(A1是点A翻折后的位置),使得AB⊥CD.
又∵BA1⊥A1D,∴BA1⊥平面A1CD.
设A1(a,b,c),则
=(a,b,c),
=(1,0,0),
=(1-a,x-b,-c).
由
•
=0,
•
=0,得到
,得到
或
.
①当a=1时,此时矩形变为正方形,点A1与C重合,满足AB⊥CD;
②当a=0时,点A1位于yoz坐标平面内,此时,b2+c2=1,0<b<1,∴x=
>1.
综上可知:当x≥1时,将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,使得AB⊥CD.
故选C.
假设将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折时存在某个位置A1BD,(A1是点A翻折后的位置),使得AB⊥CD.
又∵BA1⊥A1D,∴BA1⊥平面A1CD.
设A1(a,b,c),则
BA1 |
CD |
A1D |
由
BA1 |
A1D |
BA1 |
CD |
|
|
|
①当a=1时,此时矩形变为正方形,点A1与C重合,满足AB⊥CD;
②当a=0时,点A1位于yoz坐标平面内,此时,b2+c2=1,0<b<1,∴x=
1 |
b |
综上可知:当x≥1时,将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,使得AB⊥CD.
故选C.
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