题目内容

已知矩形ABCD,AB=1,BC=x,将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则(  )
A.?x∈(0,2),都存在某个位置,使得AB⊥CD
B.?x∈(0,2),都不存在某个位置,使得AB⊥CD
C.?x>1,都存在某个位置,使得AB⊥CD
D.?x>1,都不存在某个位置,使得AB⊥CD
建立如图所示的空间直角坐标系,B(0,0,0),C(0,x,0),D(1,x,0).
假设将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折时存在某个位置A1BD,(A1是点A翻折后的位置),使得AB⊥CD.
又∵BA1⊥A1D,∴BA1⊥平面A1CD.
设A1(a,b,c),则
BA1
=(a,b,c),
CD
=(1,0,0)
A1D
=(1-a,x-b,-c).
BA1
A1D
=0,
BA1
CD
=0,得到
a(1-a)+b(x-b)-c2=0
a(1-a)=0
,得到
a=0
bx=b2+c2
a=1
bx=b2+c2

①当a=1时,此时矩形变为正方形,点A1与C重合,满足AB⊥CD;
②当a=0时,点A1位于yoz坐标平面内,此时,b2+c2=1,0<b<1,∴x=
1
b
>1

综上可知:当x≥1时,将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,使得AB⊥CD.
故选C.
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