Question

10．已知抛物线C的方程是y=2x²．
（1）设P是抛物线C上一点，Q（0，n）是定点，求PQ的最小值；
（2）若抛物线C上存在两点关于直线y=2x+m对称，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（a，2a²），则|PQ|=$\sqrt{（a-0）^{2}+（2{a}^{2}-n）^{2}}$，由a²=t（t≥0），对称轴t=$\frac{4n-1}{8}$，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最小值；
（2）设出两点B、C坐标，得到直线BC方程y=-$\frac{1}{2}$x+t，把直线BC方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出BC中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出m的取值范围．

解答 解：（1）设P（a，2a²），则|PQ|=$\sqrt{（a-0）^{2}+（2{a}^{2}-n）^{2}}$
=$\sqrt{4{a}^{4}-（4{n-1）a}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{4（{a}^{2}-\frac{4n-1}{8}）^{2}+{n}^{2}-\frac{（4n-1）^{2}}{16}}$，
当n≤0时，由a²=t（t≥0），由对称轴t=$\frac{4n-1}{8}$＜0，即有t=0取得最小值-n；
当n＞0时，由a²=t（t≥0），由对称轴t=$\frac{4n-1}{8}$≤0，即n≤$\frac{1}{4}$时，
即有t=0取得最小值n；
当n＞0时，由a²=t（t≥0），由对称轴t=$\frac{4n-1}{8}$＞0，即n＞$\frac{1}{4}$时，
即有t=$\frac{4n-1}{8}$取得最小值$\sqrt{{n}^{2}-\frac{（4n-1）^{2}}{16}}$=$\frac{\sqrt{8n-1}}{4}$；
（2）设两点B、C关于直线y=2x+m对称，
故可设直线BC方程为y=-$\frac{1}{2}$x+t，代入y=2x²，
得2x²+$\frac{1}{2}$x-t=0．
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），
BC中点M（x₀，y₀），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{1}{8}$，y₀=$\frac{1}{16}$+t．
∵点M（x₀，y₀）在直线y=2x+m上，
∴$\frac{1}{16}$+t=2•（-$\frac{1}{8}$）+m，
∴m=$\frac{5}{16}$+t．
又∵BC与抛物线交于不同两点，
∴△=$\frac{1}{4}$+8t＞0．解得t＞-$\frac{1}{32}$，
即有m＞$\frac{9}{32}$．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式的运用及二次函数的最值的求法，考查点关于线的对称问题，两条直线垂直的性质，中点公式的应用，属于中档题．