题目内容
【题目】已知无穷数列
的各项均为正数，其前
项和为
， 
.
（1）如果
，且对于一切正整数
，均有
，求
；
（2）如果对于一切正整数
，均有
，求
；
（3）如果对于一切正整数
，均有
，证明： 
能被8整除．
【答案】(1) 
;(2) 
． (3) 见解析.
【解析】试题分析：（1）由
，得
，根据等比数列的通项公式得到通项；（2）推导出an+1﹣an﹣1=1．a1=4，由anan+1=Sn，得a2=1，a3=5，a4=3，…，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出Sn的值；（3）推导出
，分别求出前4项的值，利用数学归纳法能证明a3n﹣1能被8整除．
解析：
(1) 数列
的各项均为正数，由
，得
，
数列
是等比数列，公比
，从而
(2) 由
得
，两式相减得
，
此数列各均为正数， 
， 
数列
和数列
均是公差为1的等差数列．由
，得
．
当
为偶数时， 
当
为奇数时， 
．
(3) 由
得
，两式相减得
.
，得
， 
． 
以下证明：对于
， 
被8除余数为4， 
被8整除， 
被8除余数为4.
当
时， 
， 
， 
，命题正确．
假设
时，命题正确，即
， 
， 
其中
， 
．
那么， 
， 
为正整数， 
被8除余数为4．
．
为正整数， 
能被８整除．
． 
为正整数， 
被8除余数为4．
即
时，命题也正确．
从而证得，对于一切正整数
， 
能被８整除．
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