题目内容
【题目】已知无穷数列的各项均为正数,其前
项和为
,
.
(1)如果,且对于一切正整数
,均有
,求
;
(2)如果对于一切正整数,均有
,求
;
(3)如果对于一切正整数,均有
,证明:
能被8整除.
【答案】(1) ;(2)
. (3) 见解析.
【解析】试题分析:(1)由,得
,根据等比数列的通项公式得到通项;(2)推导出an+1﹣an﹣1=1.a1=4,由anan+1=Sn,得a2=1,a3=5,a4=3,…,由此根据n为偶数和n为奇数,能求出Sn的值;(3)推导出
,分别求出前4项的值,利用数学归纳法能证明a3n﹣1能被8整除.
解析:
(1) 数列的各项均为正数,由
,得
,
数列
是等比数列,公比
,从而
(2) 由得
,两式相减得
,
此数列各均为正数,
,
数列
和数列
均是公差为1的等差数列.由
,得
.
当为偶数时,
当为奇数时,
.
(3) 由得
,两式相减得
.
,得
,
.
以下证明:对于,
被8除余数为4,
被8整除,
被8除余数为4.
当时,
,
,
,命题正确.
假设时,命题正确,即
,
,
其中
,
.
那么, ,
为正整数,
被8除余数为4.
.
为正整数,
能被8整除.
.
为正整数,
被8除余数为4.
即时,命题也正确.
从而证得,对于一切正整数,
能被8整除.
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