题目内容
(2013•荆门模拟)已知函数f(x)满足对于?x∈R,均有f(x)+2f(-x)=ax+2(
)x+xlna(a>1)成立.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的最小值;
(3)证明:(
)n+(
)n+…+(
)n<
(n∈N+).
1 |
a |
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的最小值;
(3)证明:(
1 |
n |
2 |
n |
n |
n |
e |
e-1 |
分析:(1)对f(x)+2f(-x)=ax+2(
)x+xlna(a>1)分别取x与-x代入即可得出.
(2)利用导数研究函数的单调性即可得出;
(3)由(2)得 ax-xlna≥1恒成立,令a=e,则ex≥x+1.在ex≥x+1中令x=-
(k=1,2,…n-1),可得1-
≤e-
,得到(1-
)n≤e-k.对k分别取k=1,2,3,…,n,然后累加求和即可证明.
1 |
a |
(2)利用导数研究函数的单调性即可得出;
(3)由(2)得 ax-xlna≥1恒成立,令a=e,则ex≥x+1.在ex≥x+1中令x=-
k |
n |
k |
n |
k |
n |
k |
n |
解答:解:(1)依题意得
解之得f(x)=ax-xlna(a>1).
(2)f'(x)=axlna-lna=(ax-1)lna.
当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,f'(x)<0.
∴f(x))在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增.
∴f(x)min=f (0)=1.
(3)由(2)得 ax-xlna≥1恒成立,令a=e,则ex≥x+1.
在ex≥x+1中令x=-
(k=1,2,…n-1),
∴1-
≤e-
,∴(1-
)n≤e-k.
∴(1-
)n≤e-1,(1-
)n≤e-2,…,(1-
)n≤e-(n-1),(
)n=1.
∴(
)n+(
)n+(
)n+…+(
)n≤1+e-1+e-2+…+e-(n-1)
=
=
<
.
|
解之得f(x)=ax-xlna(a>1).
(2)f'(x)=axlna-lna=(ax-1)lna.
当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,f'(x)<0.
∴f(x))在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增.
∴f(x)min=f (0)=1.
(3)由(2)得 ax-xlna≥1恒成立,令a=e,则ex≥x+1.
在ex≥x+1中令x=-
k |
n |
∴1-
k |
n |
k |
n |
k |
n |
∴(1-
1 |
n |
2 |
n |
n-1 |
n |
n |
n |
∴(
n |
n |
n-1 |
n |
n-2 |
n |
1 |
n |
=
1-(
| ||
1-
|
e[1-(
| ||
e-1 |
e |
e-1 |
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性并利用结论证明新的结论、累加求和、求函数解析式等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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