Question

【题目】已知椭圆C：（），其中离心率，点为椭圆上的动点，为椭圆的左右焦点，若面积的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线 交椭圆于两点，点是椭圆的上顶点，若，试问直线是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标，否则说明理由．

Answer 1

【答案】(1)； (2)直线恒过定点

【解析】

（1）直接由离心率及面积的最大值和之间的关系求出椭圆的标准方程；

（2）由（1）知点坐标，假设直线，联立与椭圆的方程，得出两根之和两根之积，由直线垂直得数量积为零求出过的定点．

(1)由题意得：e，，，

解得：，所以椭圆的C的标准方程：；

(2)由(1)得，，显然直线的斜率存在，设直线的方程：，

设，

联立方程与椭圆的方程整理得：，

，即，

所以， ，

所以， ，

因为，∴，

∴ ，∴，，

∴，解得：，

当时，直线过B点不符合条件，舍去，

当时，符合，

所以直线恒过定点．