已知双曲线C:$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的离心率为$\sqrt{3}$.右准线方程为x=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$(Ⅰ)求双曲线C的方程,(Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=r2上动点P(x0.y0)(x0y0≠0)处的切线.l与双曲线C交于不同的两点A.B.是否存在实数r使得∠AOB始终为90°．若存在.求出r的值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，右准线方程为x=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=r²上动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，是否存在实数r使得∠AOB始终为90°．若存在，求出r的值；若不存在，说明理由．

分析（Ⅰ）利用离心率为$\sqrt{3}$，右准线方程为x=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，列出方程组，求出a，c，b，即可求解双曲线的方程．
（Ⅱ）点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）在圆x²+y²=r²上，得到切线方程，与双曲线联立，利用韦达定理结合向量的数量积，求解即可．

解答解：（Ⅰ）由题意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{a^2}{c}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{\frac{c}{a}=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，解得$a=1，c=\sqrt{3}$，
∴b²=c²-a²=2，∴所求双曲线C的方程为${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$．…..（4分）
（Ⅱ）点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）在圆x²+y²=r²上，
圆在点P（x₀，y₀）处的切线方程为$y-{y_0}=-\frac{x_0}{y_0}（x-{x_0}）$，
化简得$x{x_0}+y{y_0}={r^2}$．…..（5分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-\frac{y^2}{2}=1}\\{x{x_0}+y{y_0}={r^2}}\end{array}}\right.$消去y得$（2y_0^2-x_0^2）{x^2}+2{r^2}{x_0}x-{r^4}-2y_0^2=0$①$（2y_0^2-x_0^2）{y^2}-4{r^2}{y_0}y+2{r^4}-2x_0^2=0$②…..（8分）
若存在实数r 使得∠AOB始终为90⁰则有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0$，
而${x_1}{x_2}=\frac{{-{r^4}-2y_0^2}}{2y_0^2-x_0^2}$，${y_1}{y_2}=\frac{{2{r^4}-2x_0^2}}{2y_0^2-x_0^2}$又$x_0^2+y_0^2={r^2}$，
x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{-{r^4}-2y_0^2}}{2y_0^2-x_0^2}+$$\frac{{2{r^4}-2x_0^2}}{2y_0^2-x_0^2}$=$\frac{{{r^4}-2{r^2}}}{2y_0^2-x_0^2}$=0，
$r=\sqrt{2}$…..（10分）
而$r=\sqrt{2}$时①化为$（3x_0^2-4）{x^2}-4{x_0}x+8-2x_0^2=0$，x₀y₀≠0，
$0＜x_0^2＜2$，
$△=16x_0^2-4（3x_0^2-4）（8-2x_0^2）＞0$，
综上所述存在$r=\sqrt{2}$使得∠AOB始终为90°…..（12分）