Question

4．设有一组圆C_k：（x-k）²+（y-k）²=4，（k∈R），下命题正确的是①②③⑤（写出所有正确结论编号）．
①不论k如何变化，圆心C_k始终在一条直线上；
②所有圆C_k均不经过点（3，0）；
③存在一条定直线始终与圆C_k相切；
④当k=0时，若圆C_k上至少有一点到直线x+y+m=0的距离为1，则m的取值范围为（3$\sqrt{2}$，+∞）；
⑤若k$∈（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}）$，若圆C_k上总存在两点到原点的距离为1．

Answer 1

分析 直接求出圆心所在直线方程判断①；把（3，0）代入圆的方程，求得k无解判断②；举例说明③正确；当k=0时由点到直线的距离公式求出m的范围判断④；把问题转化为圆x²+y²=1与圆C_k有两个交点，求出k的范围判断⑤．

解答 解：圆心在直线y=x上，①正确；
若（3-k）²+（0-k）²=4，化简得2k²-6k+5=0，△=36-40=-4＜0，无解，②正确；
对于③，存在定直线$y=x±2\sqrt{2}$始终与圆C_k相切，③正确；
对于④，但k=0时，圆的方程为x²+y²=4，若圆C_k上至少有一点到直线x+y+m=0的距离为1，
则圆心到该直线的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}≤2+1$，m∈[-3$\sqrt{2}$，$3\sqrt{2}$]，④错误；
圆C_k上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x²+y²=1与圆C_k有两个交点，
则k∈$（-\frac{3\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）∪（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}）$，⑤正确．
故答案为：①②③⑤．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了直线与圆、圆与圆位置关系的判断，是中档题．