Question

【题目】已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称为“函数”．

(1) 判断函数是否是“函数”；

(2) 若是一个“函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

(3) 若定义域为R的函数是“函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x[0,1]时，的值域为[1,2]，求当x[2016,2016]时函数的值域．

Answer 1

【答案】（1）函数不是“函数”，函数是“函数”；

（2）；

（3）.

【解析】

(1) 根据题意,结合,代入即可检验是否满足条件.

(2) 根据定义,代入可得关于的方程.解方程即可求得满足条件的有序实数对.

(3) 将所给的数对代入,可得函数的周期.根据归纳推理可得函数的值域.

(1) 若是“函数”,则存在常数,使得

即时,对恒成立．而最多有两个解,矛盾

因此不是“函数”

若是“函数”,则存在常数使得

即存在常数对满足条件．因此是“函数”；

(2) 是一个“函数”,有序实数对满足恒成立,

当时,,不是常数

∴

当时,有恒成立

即恒成立．

则,

当,时,成立．

因此满足是一个“函数”,．

(3) 函数是“函数”,且存在满足条件的有序实数对和,

于是,．

x[1,2]时x[0,1],f(2x)[1,2],,

∴x[0,2]时,,

,

x[2,4]时,f(x)[4,16],

x[4,6]时,f(x)[16,64],

以此类推可知：x[2k,2k2]时,f(x)[22k,22k2]

x[2014,2016]时,f(x)[22014,22016],

因此时，

时，

综上可知当时函数的值域为．