题目内容

如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E是PA上的一点,F是BC的中点.
(Ⅰ)求证:EC⊥BD;
(Ⅱ)若PE=EA,求证:EF∥平面PCD.
分析:(1)连接AC,转化为证明直线BD⊥平面PAC;
(2)取PD中点M,连接EM,CM,根据线面平行的判定定理,只需证明EF∥CM.
解答:证明:(1)连接AC,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴PA⊥BD,
又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,
∵EC?平面PAC,
∴EC⊥BD.
(2)取PD中点M,连接EM,CM,则ME∥AD,ME=
1
2
AD,
∵ABCD是正方形,∴AD∥BC,AD=BC,
∵F为BC的中点,∴CF∥AD,CF=
1
2
AD,
∴ME∥CF,ME=CF,∴四边形EFCM是平行四边形,
∴EF∥CM,又∵EF?平面PCD,CM?平面PCD,
∴EF∥平面PCD.
点评:本题考查线面平行的判定定理及线面垂直的性质,理解相关定理的内容是解决该类题目的基础.
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