题目内容
1.求非零常数a,b,使得$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2arctanx-ln\frac{1+x}{1-x}}{{x}^{a}}$=b.分析 经分析,该极限是“$\frac{0}{0}$”型极限,所以运用“洛必达”法则求解,即:$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f(x)}{g(x)}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'(x)}{g'(x)}$=b.
解答 解:当x→0时,arctanx→0,ln$\frac{1+x}{1-x}$→0,
所以,该极限是“$\frac{0}{0}$”型极限,故用“洛必达”法则求解,
记f(x)=2arctanx-ln$\frac{1+x}{1-x}$,g(x)=xa,
则f'(x)=2×$\frac{1}{1+x^2}$-2×$\frac{1}{1-x^2}$=-$\frac{4x^2}{1-x^4}$,
而g'(x)=a•xa-1,
由于$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f(x)}{g(x)}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'(x)}{g'(x)}$=b(b≠0),
要使上式成立,则g'(x)的次数与f'(x)分子的次数一致,
即a-1=2,解得a=3,
此时,原式=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f'(x)}{g'(x)}$=$\underset{lim}{x→0}$[-$\frac{4}{3(1-x^4)}$]=-$\frac{4}{3}$,
故a=3,b=-$\frac{4}{3}$.
点评 本题主要考查了极限的求解,涉及洛必达法则的应用,导数的运算,分式极限的特征,属于难题.
练习册系列答案
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