Question

8．设全集S={1，2，…，15}，A={a₁，a₂，a₃}是S的子集，且（a₁，a₂，a₃）满足：1≤a₁＜a₂＜a₃≤15，a₃-a₂≤6，求满足条件的子集的个数．

Answer 1

分析 从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C₁₅³个，再把不符合条件的去掉，就得到满足条件的集合A的个数．

解答 解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一共能组成C₁₅³=455个，
其中a₃=8时，a₁，a₂∈{1，2}不满足要求，共有C₂²=1个，
a₃=9时，a₁，a₂∈{1，2，3}不满足要求，共有C₃²=3个，
a₃=10时，a₁，a₂∈{1，2，3，4}不满足要求，共有C₄²=6个，
a₃=11时，a₁，a₂∈{1，2，3，4，5}不满足要求，共有C₅²=10个，
a₃=12时，a₁，a₂∈{1，2，3，4，5，6}不满足要求，共有C₆²=15个，
a₃=13时，a₁，a₂∈{1，2，3，4，5，6，7}不满足要求，共有C₇²=21个，
a₃=14时，a₁，a₂∈{1，2，3，4，5，6，7，8}不满足要求，共有C₈²=28个，
a₃=15时，a₁，a₂∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}不满足要求，共有C₉²=36个，
其它的都符合条件，
所以满足条件的集合A的个数455-（1+3+6+10+15+21+28+36）=345．

点评 本题主要考查排列与组合及两个基本原理，组合数公式的应用，元素与集合的关系，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答，属于中档题．