题目内容
已知函数y=f(x),若存在x0,使得f(x0)=x0,则称x0是函数y=f(x)的一个不动点,设二次函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2
(Ⅰ)当a=2,b=1时,求函数f(x)的不动点;
(Ⅱ)若对于任意实数b,函数f(x)恒有两个不同的不动点,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若函数y=f(x)的图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且直线y=kx+
是线段AB的垂直平分线,求实数b的取值范围.
解:(Ⅰ) 当a=2,b=1时,f(x)=2x2+2x-1,解2x2+2x-1=x,
解得
,
所以函数f(x)的不动点为
;
(Ⅱ)因为对于任意实数b,函数f(x)恒有两个不同的不动点,
所以对于任意实数b,方程f(x)=x恒有两个不相等的实数根,
即方程ax2+(b+1)x+b-2=x恒有两个不相等的实数根,
所以
,即对于任意实数b,b2-4ab+8a>0,
所以
,
解得0<a<2;
(Ⅲ)设函数f(x)的两个不同的不动点为x1,x2,则A(x1,x1),B(x2,x2),
且x1,x2是ax2+bx+b-2=0的两个不等实根,所以
,
直线AB的斜率为1,线段AB中点坐标为
,
因为直线
是线段AB的垂直平分线,
所以k=-1,且(-
,-
)在直线y=kx+
上,
则-
=
+
,a∈(0,2),
所以b=-
=-
,
当且仅当a=1∈(0,2)时等号成立,
又b<0,
所以实数b的取值范围是[-
,0).
分析:(Ⅰ)把a=2,b=1代入方程f(x)=x,解出x即可;
(Ⅱ)方程f(x)=x恒有两个不相等的实数根,即方程ax2+(b+1)x+b-2=x恒有两个不相等的实数根,则
对任意b恒成立,根据二次函数的性质可得a的不等式;
(Ⅲ)设函数f(x)的两个不同的不动点为x1,x2,则A(x1,x1),B(x2,x2),且x1,x2是ax2+bx+b-2=0的两个不等实根,则
,由题意可得k=-1,且AB中点(-
,-
)在直线y=kx+
上,代入可得a,b的关系式,分离出b后根据a的范围可得b的范围;
点评:本题考查函数恒成立问题、直线的垂直关系直线方程,考查转化思想,本题的关键是准确理解不动点的定义.
解得

所以函数f(x)的不动点为

(Ⅱ)因为对于任意实数b,函数f(x)恒有两个不同的不动点,
所以对于任意实数b,方程f(x)=x恒有两个不相等的实数根,
即方程ax2+(b+1)x+b-2=x恒有两个不相等的实数根,
所以

所以

解得0<a<2;
(Ⅲ)设函数f(x)的两个不同的不动点为x1,x2,则A(x1,x1),B(x2,x2),
且x1,x2是ax2+bx+b-2=0的两个不等实根,所以

直线AB的斜率为1,线段AB中点坐标为

因为直线

所以k=-1,且(-



则-



所以b=-



当且仅当a=1∈(0,2)时等号成立,
又b<0,
所以实数b的取值范围是[-

分析:(Ⅰ)把a=2,b=1代入方程f(x)=x,解出x即可;
(Ⅱ)方程f(x)=x恒有两个不相等的实数根,即方程ax2+(b+1)x+b-2=x恒有两个不相等的实数根,则

(Ⅲ)设函数f(x)的两个不同的不动点为x1,x2,则A(x1,x1),B(x2,x2),且x1,x2是ax2+bx+b-2=0的两个不等实根,则




点评:本题考查函数恒成立问题、直线的垂直关系直线方程,考查转化思想,本题的关键是准确理解不动点的定义.

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