题目内容
【题目】已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,().
(1)当时,求的表达式:
(2)求在区间的最大值的表达式;
(3)当时,若关于x的方程(a,)恰有10个不同实数解,求a的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)根据偶函数的特点,可知,可得结果.
(2)采用分类讨论方法,与,去掉绝对值研究函数在区间上的单调性,可得结果.
(3)画出函数图像,利用换元法,得出与,可转化为两个根为,可得,最后计算可得结果.
(1)令,则
由当时,
所以
又函数是定义在R上的偶函数,
即
所以
所以当时,
(2)当时,
如图
可知函数的最大值在或处取得,
所以,
①若,此时
②若,此时;
当时,,对称轴为
③若,即时,则,
④若,即时,则
综上,得
(3)当时,
如图
令
由的图象可知,
当时,方程有两解;
当时,方程有四解;
当时,方程有六解;
当时,方程有三解;
当时,方程无解.
要使方程(a,)
恰有10个不同实数解,
则关于t的方程的一个根为1,
另一个根,设,则有
则
所以a的取值范围为.
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