题目内容

【题目】已知函数是定义在R上的偶函数,且当时,.

1)当时,求的表达式:

2)求在区间的最大值的表达式;

3)当时,若关于x的方程a)恰有10个不同实数解,求a的取值范围.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)根据偶函数的特点,可知,可得结果.

2)采用分类讨论方法,,去掉绝对值研究函数在区间上的单调性,可得结果.

3)画出函数图像,利用换元法,得出,可转化为两个根为,可得,最后计算可得结果.

1)令,则

由当时,

所以

又函数是定义在R上的偶函数,

所以

所以当时,

2)当时,

如图

可知函数的最大值在处取得,

所以

①若,此时

②若,此时

时,,对称轴为

③若,即时,则

④若,即时,则

综上,得

3)当时,

如图

的图象可知,

时,方程有两解;

时,方程有四解;

时,方程有六解;

时,方程有三解;

时,方程无解.

要使方程a

恰有10个不同实数解,

则关于t的方程的一个根为1

另一个根,设,则有

所以a的取值范围为.

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