Question

20．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一个周期内，当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取最小值-1．
（1）求函数的解析式y=f（x）；
（2）求函数的对称轴、对称中心、单调减区间．

Answer 1

分析 （1）通过同一个周期内，当 $x=\frac{π}{4}$时y取最大值1，当 $x=\frac{7π}{12}$时，y取最小值-1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（2）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间，结合函数的对称轴和对称中心的定义进行求解即可．

解答 解：（1）∵函数在同一个周期内，当x=$\frac{π}{4}$时y取最大值1，当x=$\frac{7π}{12}$时，y取最小值-1，
∴T=$\frac{2π}{ω}=2×（\frac{7π}{12}-\frac{π}{4}）$=$\frac{2π}{3}$，
∴ω=3．
∵$sin（\frac{3}{4}π+φ）=1$，
∴$\frac{3π}{4}+φ=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=2kπ-$\frac{π}{4}$，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴可得 $φ=-\frac{π}{4}$，
∴函数 $f（x）=sin（3x-\frac{π}{4}）$．
（2）$令3x-\frac{π}{4}=\;kπ+\frac{π}{2}$，
得x=$\frac{kπ}{3}+\frac{π}{4}$，
即f（x）的对称轴为x=$\frac{kπ}{3}+\frac{π}{4}$（k∈Z）；
由3x-$\frac{π}{4}$=kπ，即x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，即函数的对称中心为（$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，0），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$3x-\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{12}$，
即函数的单调递增区间为为[$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，$\frac{2kπ}{3}$+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质，如函数的对称性，单调性，掌握基本函数的基本性质，是学好数学的关键．