Question

（2011•自贡三模）函数f（x）=-x³-8x²-7x+5的图象在X=-1处的切线斜率为k，则（2x-

1

2x

）^k的展开式的常数项是

-20

．

Answer 1

分析：求出导函数，令导函数中的x为-1求出图象在X=-1处的切线斜率k的值；将k的值代入二项式；利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r的值；将r的值代入通项求出展开式的常数项．

解答：解：f′（x）=-3x²-16x-7
∴k=-3+16-7=6
∴(2x-

1

2x

)k=(2x-

1

2x

)6的展开式的通项为Tr+1=26-r(-

1

2

)r

C

r 6

x6-2r
令6-2r=0得r=3
所以展开式的常数项为23(-

1

2

)3

C

3 6

=-20
故答案为：-20

点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值等于切线的斜率、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．