Question

（2011•自贡三模）已知函数，y=f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（Ⅰ）要使f（x）在（0，1）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数f（x）的极小值和极大值分别为1、

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27

，试求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x∈[0，1]时，y=f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，当0≤θ≤

π

4

．时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导函数f′（x），要使f（x）在区间（0，1）上单调递增，只需x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，然后转化成 a＞

3

2

x恒成立，即可求出a的范围；
（II）由（I）中导函数的解析式，我们易求出函数取极值时x的值，然后根据函数f（x）的极小值和极大值分别为1、

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，构造关于a，b的方程，解方程后即可求出函数y=f（x）的解析式；
（III）根据导数的几何意义可知tanθ=f′（x），然后根据倾斜角为θ的范围求出f′（x）的范围在x∈[0，1]恒成立，将a分离出来，使之恒成立即可求出a的范围．

解答：解：（I）f′（x）=-3x²+2ax，
由题设，当x∈（0，1）时，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴a＞

3

2

x恒成立，
∴a≥

3

2

（II）由（I）得，令f′（x）=-3x²+2ax=0
则x=0，或x=

2a

3

又∵a＞0时，函数f（x）的极小值和极大值分别为1、

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，
故f（0）=1，f（

2a

3

）=

31

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解得a=1，b=1
∴f（x）=-x³+x²+1
（III）当x∈[0，1]时，tanθ=f′（x）=-3xh3+2ax
∵θ∈[0，

π

4

]．∴0≤f'（x）≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，当-3x²+2ax≥0时，a≥

3

2

，
由 -3x2+2ax≥0⇒a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立，
又

1

2

(3x+

1

x

)min=

3

，∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用转化与划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．