Question

如图，已知直线与抛物线相切于点)且与轴交于点为坐标原点，定点B的坐标为.

(1)若动点满足|=，求点的轨迹.
(2)若过点的直线(斜率不等于零)与(1)中的轨迹交于不同的两点，试求与面积之比的取值范围.

Answer 1

(1) (2)

解析试题分析：解：（I）由，
∴直线的斜率为，
故的方程为，∴点A坐标为（1，0）       
设   则，
由得
整理，得      
∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2
的椭圆．     
（II）如图，由题意知直线的斜率存在且不为零，

设方程为y=k(x－2)(k≠0)①
将①代入，整理，得
，
由得.  设
则 ②  
令，由此可得
由②知


.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是. 
考点：椭圆的方程
点评：关于曲线的大题，第一问一般是求出曲线的方程，第二问常与直线结合起来，当涉及到交点时，常用到根与系数的关系式：（）。