题目内容
【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的短轴长为2
,离心率为
,点F为其在y轴正半轴上的焦点. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若一动圆过点F,且与直线y=﹣1相切,求动圆圆心轨迹C1的方程;
(Ⅲ)过F作互相垂直的两条直线l1 , l2 , 其中l1交曲线C1于M、N两点,l2交椭圆C于P、Q两点,求四边形PMQN面积的最小值.
【答案】解:(I)由题意可得:2b=2 ,
,又a2=b2+c2 , 联立解得b=
,a=2,c=1.
∴椭圆C的方程为 =1.
(II)F(0,1),由题意可得:动圆圆心轨迹为抛物线,点F为焦点,直线y=﹣1为准线,
因此C1的方程为:x2=4y.
(III)解:由题意可设直线l1的方程为:y=kx+1,(k≠0),M(x1 , y1),N(x2 , y2).
则直线l1的方程为:y=﹣ x+1,P(x3 , y3),Q(x4 , y4).
联立 ,可得:x2﹣4kx﹣4=0,可得x1+x2=4k,x1x2=﹣4,
∴|MN|= =4(1+k2).
同理可得|PQ|=4 ,
∴S四边形PMQN= |MN||PQ|=8(1+k2)
=8
≥8
=32,
当且仅当k=±1时取等号,此时四边形PMQN面积的最小值为32
【解析】(I)由题意可得:2b=2 ,
,又a2=b2+c2 , 联立解得即可得出.(II)F(0,1),由题意可得:动圆圆心轨迹为抛物线,点F为焦点,直线y=﹣1为准线,即可得出方程.(III)由题意可设直线l1的方程为:y=kx+1,(k≠0),M(x1 , y1),N(x2 , y2). 则直线l1的方程为:y=﹣
x+1,P(x3 , y3),Q(x4 , y4).与抛物线方程联立可得:x2﹣4kx﹣4=0,利用根与系数的关系代入|MN|=
=4(1+k2).同理可得|PQ|=4
,利用S四边形PMQN=
|MN||PQ|,及其基本不等式的性质即可得出.
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