题目内容
【题目】已知正三棱锥P﹣ABC,点P、A、B、C都在半径为的球面上,若PA、PB、PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵正三棱锥P﹣ABC,PA,PB,PC两两垂直,
∴此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球O,
∵球O的半径为 ,
∴正方体的边长为2,即PA=PB=PC=2,
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离,
设P到截面ABC的距离为h,则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=
S△PAB×PC=
×
×2×2×2=
,
△ABC为边长为2的正三角形,S△ABC=
×(2
)2=2
,
∴h= ,
∴球心(即正方体中心)O到截面ABC的距离为-
=
.
故选:C.
利用正三棱锥的特点,将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题,从而将所求距离转化为正方体中,中心到截面的距离问题,然后利用等体积法可实现此计算.
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