题目内容
【题目】设函数,
.
(1)当时,函数
,
在
处的切线互相垂直,求
的值;
(2)当函数在定义域内不单调时,求证:
;
(3)是否存在实数,使得对任意
,都有函数
的图象在
的图象的下方?若存在,请求出最大整数
的值;若不存在,请说理由.(参考数据:
,
)
【答案】(1);(2)见解析;(3)1
【解析】分析:(1)求导得切线斜率为和
,由垂直得斜率积为-1,从而得解;
(2),求导得
,令
,要使函数在定义域内不单调,只需要
在
有非重根,利用二次方程根的分别即可得解;
(3)对
恒成立,令
,
,令
,存在
,使得
,即
,则
,
取到最小值
, 所以
,即
在区间
内单调递增,从而得解.
详解:(1)当时,
,则
在
处的斜率为
,
又在
处的斜率为
,则
,解得
.
(2)函数,
则 .
∵,∴
,令
,
要使函数在定义域内不单调,只需要在
有非重根,
由于开口向上,且
只需要,得
,
因为,所以
,
故,当且仅当
时取等号,命题得证 .
(3)假设存在实数满足题意,则不等式
对
恒成立,
即对
恒成立 .
令,则
,
令,则
,
因为在
上单调递增,
,
,且
的图象在
上不间断,
所以存在,使得
,即
,则
,
所以当时,
单调递减;当
时,
单调递增.
则取到最小值
,
所以,即
在区间
内单调递增,
所以,
所以存在实数满足题意,且最大整数
的值为1 .
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业通过调查问卷(满分50分)的形式对本企业900名员工的工作满意程度进行调查,并随机抽取了其中30名员工(16名女工,14名男工)的得分,如下表:
女 | 47 | 36 | 32 | 48 | 34 | 44 | 43 | 47 | 46 | 41 | 43 | 42 | 50 | 43 | 35 | 49 |
男 | 37 | 35 | 34 | 43 | 46 | 36 | 38 | 40 | 39 | 32 | 48 | 33 | 40 | 34 |
(1)根据以上数据,估计该企业得分大于45分的员工人数;
(2)现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分,若规定大于平局得分为 “满意”,否则为 “不满意”,请完成下列表格:
“满意”的人数 | “不满意”的人数 | 合计 | |
女员工 | 16 | ||
男员工 | 14 | ||
合计 | 30 |
(3)根据上述表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关?
参考数据:
P(K2 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
K | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的60名学生,得到数据如下表:
喜欢统计课程 | 不喜欢统计课程 | 合计 | |
男生 | 20 | 10 | 30 |
女生 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 30 | 60 |
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选3人,求恰有2个男生和1个女生的概率.
下面的临界值表供参考:
0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中
)