已知椭圆C:=1的离心率为.短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程,(2)过椭圆C上的动点P引圆O:的两条切线PA.PB.A.B分别为切点.试探究椭圆C上是否存在点P.由点P向圆O所引的两条切线互相垂直?若存在.请求出点P的坐标,若不存在.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（本题满分14分）已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一
个端点到右焦点的距离为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上的动点P引圆O：的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意---------------- 3分
，------------------------------4分
所求椭圆方程为------------------------------5分
（2）如图，设P点坐标为,--------------------------6分
若，则有.-----------------------7分
即-----------------------------8分
有
两边平方得……①------------------------------9分
又因为在椭圆上,所以……②------------------------------10分
①,②联立解得------------------------------11分
所以满足条件的有以下四组解
，，，------------------------------13分
所以,椭圆C上存在四个点，，，
，分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直. -----------14分

解析

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已知椭圆的方程为它的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
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（1）求椭圆C的标准方程；
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（本小题满分12分）
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