Question

4．已知a=-2${∫}_{0}^{π}$sin（x+$\frac{π}{3}$）dx，则（x²+$\frac{a}{x}$）⁵的展开式中x的系数为-80．

Answer 1

分析 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于01，求出r的值，即可求得展开式中x的系数．

解答 解：a=-2${∫}_{0}^{π}$sin（x+$\frac{π}{3}$）dx=2cos（x+$\frac{π}{3}$）${|}_{0}^{π}$=2cos$\frac{4π}{3}$-2cos$\frac{π}{3}$=-2，
则（x²+$\frac{a}{x}$）⁵=（x²-$\frac{2}{x}$）⁵ 的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（-2）^r•x^10-3r，
令10-3r=1，求得 r=3，可得展开式中x的系数为${C}_{5}^{3}$×（-2）³=-80，
故答案为：-80．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．