题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，离心率等于
，它的一个顶点恰好在抛物线
的准线上．
求椭圆的标准方程；
点
，
在椭圆上，
是椭圆上位于直线
两侧的动点
当运动时，满足
，试问直线
的斜率是否为定值，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
设椭圆C的标准方程为
，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线
的准线
上，可得
，解得
又
，
，联立解得即可；
设
，
，由
，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为
，直线PA的方程为：
，与椭圆的方程联立化为
，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
设椭圆C的标准方程为，
椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，
，解得
．
又，，
，
，
可得椭圆C的标准方程为．
设，，
，则PA，PB的斜率互为相互数，
可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，
直线PA的方程为：，
联立
，
化为，
，
同理可得：
，
，
，
．
直线AB的斜率为定值．
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