题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,离心率等于
,它的一个顶点恰好在抛物线
的准线上.
求椭圆
的标准方程;
点
,
在椭圆上,
是椭圆上位于直线
两侧的动点
当
运动时,满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
设椭圆C的标准方程为
,由椭圆的一个顶点恰好在抛物线
的准线
上,可得
,解得
又
,
,联立解得即可;
设
,
,由
,则PA,PB的斜率互为相互数,可设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为
,直线PA的方程为:
,与椭圆的方程联立化为
,利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出.
设椭圆C的标准方程为
,
椭圆的一个顶点恰好在抛物线
的准线
上,
,解得
.
又,
,
,
,
可得椭圆C的标准方程为.
设
,
,
,则PA,PB的斜率互为相互数,
可设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为,
直线PA的方程为:,
联立,
化为,
,
同理可得:,
,
,
.
直线AB的斜率为定值
.
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