Question

【题目】已知命题p：“方程x2﹣ax+a+3=0有解”，q：“ ﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立”，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：命题p：方程x2﹣ax+a+3=0有解，可得，△=a2﹣4a﹣12≥0，解得a≤﹣2或a≥6． 命题q：“ ﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立，a≤ ，设f（x）= ，因为f（x）在[0，+∞）为减函数，
所以f（x）＞0，
解得a≤0．
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴命题p与q一真一假，
当p真q假时， ，解得a≥6，
当p假q真时， ，解得﹣2＜a≤0，
综上实数a的取值范围是（﹣2，0]∪[6，+∞）
【解析】命题p：方程x2﹣ax+a+3=0有解，可得△≥0，解得a的取值范围．命题q ﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立，即a≤ ，解得a的取值范围．由于p或q为真命题，p且q为假命题，命题p与q一真一假，分别求出，即可得到a的取值范围
【考点精析】掌握复合命题的真假是解答本题的根本，需要知道“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．