Question

4．已知函数f（x）=e^-x（ax²+bx+1）（其中e是常数，a＞0，b∈R），函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（-1）=0．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当a＞$\frac{1}{5}$时，若函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值为4e，试求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，f′（-1）=0．可得b=2，求得切线的斜率，切点坐标，即可得到所求切线的方程；
（2）求出导数，求得1+3a=2b，解方程f′（x）=0，可得x=-1，或x=$\frac{3a-1}{2a}$，讨论当-1＜$\frac{3a-1}{2a}$≤1，当$\frac{3a-1}{2a}$＞1，判断单调性，求得最大值，解方程可得a，b的值．

解答 解：（1）函数f（x）=e^-x（x²+bx+1），
导数f′（x）=-e^-x（x²+bx+1）+e^-x（2x+b），
由f′（-1）=0，可得-e（2-b）+e（b-2）=0，解得b=2，
即有f′（x）=e^-x（1-x²），
在点（0，f（0））处的切线斜率为1，
切点为（0，1），
则在点（0，f（0））处的切线方程为y=x+1；
（2）f′（x）=-e^-x（ax²+bx+1）+e^-x（2ax+b），
由f′（-1）=0，可得-e（a-b+1）+e（b-2a）=0，
即有1+3a=2b，
则f′（x）=-$\frac{1}{2}$e^-x[2ax²-（a-1）x-（3a-1）]
=-$\frac{1}{2}$e^-x[2ax-（3a-1）]（x+1），
由f′（x）=0，可得x=-1，或x=$\frac{3a-1}{2a}$，
当-1＜$\frac{3a-1}{2a}$≤1，即$\frac{1}{5}$＜a≤1时，x=$\frac{3a-1}{2a}$时，取得最大值4e，
即有${e}^{-\frac{3a-1}{2a}}$（a（$\frac{3a-1}{2a}$）²+$\frac{3a+1}{2}$•（$\frac{3a-1}{2a}$）+1）=4e，
由$\frac{1}{e}$≤${e}^{-\frac{3a-1}{2a}}$＜e，a（$\frac{3a-1}{2a}$）²+$\frac{3a+1}{2}$•（$\frac{3a-1}{2a}$）+1=$\frac{9a-1}{2}$∈（$\frac{2}{5}$，4），
则${e}^{-\frac{3a-1}{2a}}$（a（$\frac{3a-1}{2a}$）²+$\frac{3a+1}{2}$•（$\frac{3a-1}{2a}$）+1）＜4e，故方程无解；
当$\frac{3a-1}{2a}$＞1，即a＞1时，[-1，1]递增，x=1时，取得最大值4e，
即有e^-1（a+b+1）=4e，结合1+3a=2b，解得a=$\frac{24{e}^{2}-9}{15}$，b=$\frac{12{e}^{2}-2}{5}$．
综上可得a=$\frac{8{e}^{2}-3}{5}$，b=$\frac{12{e}^{2}-2}{5}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和函数的最值，考查分类讨论的思想方法和运算求解能力，属于中档题．