Question

【题目】定义：已知函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值为t，若t≤m恒成立，则称函数f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性质．例如函数 在[1，9]上就具有“DK”性质．
（1）判断函数f（x）=x2﹣2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性质？说明理由；
（2）若g（x）=x2﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性质，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣2x+2，x∈[1，2]，

对称轴x=1，开口向上．

当x=1时，取得最小值为f（1）=1，

∴f（x）min=f（1）=1≤1，

∴函数f（x）在[1，2]上具有“DK”性质

（2）解：g（x）=x2﹣ax+2，x∈[a，a+1]，其图象的对称轴方程为 ．

①当 ，即a≥0时， ．

若函数g（x）具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2．

②当 ，即﹣2＜a＜0时， ．

若函数g（x）具有“DK”性质，则有 总成立，解得a无解．

③当 ，即a≤﹣2时，g（x）min=g（a+1）=a+3．

若函数g（x）具有“DK”性质，则有a+3≤a，解得a无解．

综上所述，若g（x）=x2﹣ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性质，则a≥2

【解析】（1）直接根据新定义进行判断即可．（2）根据二次函数的性质，求出对称轴，对其进行讨论，根据新定义求解．