题目内容
【题目】已知椭圆过点
,
为
内一点,过点
的直线
交椭圆
于
、
两点,
,
为坐标原点,当
时,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)先由椭圆过点
得出
值,再由
可得出点
在椭圆上,代入椭圆方程可得出
的值,即可得出椭圆
的方程;
(2)当直线斜率为0时,易得
;当直线
斜率不为0时,设直线
的方程为
,并设点
、
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,并列出韦达定理,由
可得
,由已知条件得
,将关系式代入韦达定理并消去
,于是可得出
的不等式,即可求出
的取值范围.
解:(1)由于,则
、
、
三点共线,当
时,则
,
因为,
所以点和点
在椭圆上,
因为椭圆过点
,则
,
将点的坐标代入椭圆的方程得
,解得
,
因此,椭圆的方程为
;
(2)当直线斜率为0时,直线
的方程为
,则
,
,所以
;
当直线斜率不为0时,设直线
的方程为
,设点
、
,
将直线的方程代入椭圆
的方程并化简得
,
由韦达定理可得,
,
因为,
,且
,
所以,则
,由于
,所以
,
所以,则
,
由,
上述两式相除得,
由于,化简得
,解得
,
所以,
综上,实数的取值范围是
.
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