Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为 2

3

，左准线 l与x轴的交点为M，|MA1|：|A1F1|=

3

：1，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与 A₁，A₂均不重合，设直线 PA₁与 PA₂的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若

|OP|

|OM|

=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距为c，由题意能够导出a，b，c，写出椭圆方程即可；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），分别求出k₁，k₂的表达式，再求得k₁•k₂为定值即可；
（Ⅲ）设M（x，y），先由已知

|OP|2

|OM|2

=λ2及点P在椭圆C上可得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，下面对λ的值进行分类讨论：①当λ=

3

3

时，②当λ≠

3

3

时，其中再分成三类：一类是：当0＜λ＜

3

3

时，另一类是：当

3

3

＜λ＜1时，最后一类是：当λ≥1时，分别说明轨迹是什么曲线即得．

解答：解：（Ⅰ）由题得，设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1；
则有

2a=2 3 a2 c -a= 3 (a-c) a2=b2+c2

所以椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），A(-

3

，0)，B(

3

，0)，则

x 2 0

3

+

y 2 0

2

=1，即

y

2 0

=2-

2

3

x

2 0

，
则k1=

y0

x0+ 3

，k2=

y0

x0- 3

，
即k1•k2=

y 2 0

x 2 0 -3

=

2- 2 3 x 2 0

x 2 0 -3

=

2 3 (3- x 2 0 )

x 2 0 -3

=-

2

3

，
∴k₁•k₂为定值-

2

3

．
（Ⅲ）设M（x，y），其中x∈[-

3

，

3

]．
由已知

|OP|2

|OM|2

=λ2及点P在椭圆C上可得

x2+2- 2 3 x2

x2+y2

=

x2+6

3(x2+y2)

=λ2，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中x∈[-

3

，

3

]．
①当λ=

3

3

时，化简得y²=6，
所以点M的轨迹方程为y=±

6

(-

3

≤x≤

3

)，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当λ≠

3

3

时，方程变形为

x2

6 3λ 2-1

+

y2

6 3λ 2

=1，其中x∈[-

3

，

3

]．
当0＜λ＜

3

3

时，M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足x∈[-

3

，

3

]的部分；
当

3

3

＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足x∈[-

3

，

3

]的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．