题目内容

在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现在可供选用的不同添加剂有6种，其中芳香度为1的添加剂1种，芳香度为2的添加剂2种，芳香度为3的添加剂3种．根据试验设计原理，通常要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．
（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率；
（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率；
（Ⅲ）用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．

解：（Ⅰ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从6种添加剂中选两种，共有C₆²种结果，
满足条件的事件是选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3，共有C₂¹种结果，
设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3”为事件A，
则 $\text{[math]}$ ．
即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3的概率是 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数”为事件B，
两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1和3，芳香度为2和2，芳香度为3和3，
其中芳香度为1和3的概率为 $\text{[math]}$ ，
芳香度为2和2的概率为 $\text{[math]}$ ，
芳香度为3和3的概率为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
即所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为偶数的概率是 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）ξ的可能取值为3，4，5，6，
且 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ．
∴ξ的分布列为

∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从6种添加剂中选两种，共有C₆²种结果，满足条件的事件是选用的两种不同的添加剂的芳香度之和为3，共有C₂¹种结果，根据概率公式得到结果．
（II）两种添加剂的芳香度之和为偶数有三种可能：芳香度为1和3，芳香度为2和2，芳香度为3和3，这三种情况是互斥的，根据等可能事件的概率和互斥事件的概率公式得到结果．
（III）ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和，则ξ的可能取值为3，4，5，6，结合变量对应的事件写出变量出现的概率，写出分布列和期望．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个典型的问题，这种题目是高考每一年必考的．