Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（cosβ，sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，若0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，且sinβ=-$\frac{5}{13}$，求sinα．

Answer 1

分析 由条件|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求得cos（α-β）的值，可得sin（α-β）的值；再根据sinβ=-$\frac{5}{13}$，求得cosβ 的值，从而利用两角和的正弦公式求得sinα=sin[（α-β）+β]的值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\sqrt{{（cosα-cosβ）}^{2}{+（sinα-sinβ）}^{2}}$=$\sqrt{2-2cos（α-β）}$，
∴cos（α-β）=$\frac{3}{5}$．
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{2}$＜β＜0，且sinβ=-$\frac{5}{13}$，∴cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，α-β∈0，π），∴sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}×（-\frac{5}{13}）$=$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于中档题．